第 15 课：循环求积
循环求和的问题蛙蛙已经解决了，他觉得循环求积也可通过同样的方式处理。
15.1 循环求积的操作
现在他想求从 1 乘到 10 的积，也就是求 1 × 2 × 3 × … × 10 的积，他将循环求和的程序直接拿过来用，只是把 + 号改成了 * 号，代码如下：
#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
int m, n, s = 0;
cin >> m >> n;
for (int i = m; i <= n; i++)
{
s *= i;
}
cout << s;
return 0;
}编译运行后，蛙蛙发现结果是 0，这是为什么呢？
氪町博士一眼就看出了问题：s 的初始值为 0，0 乘什么的结果都是 0，所以最终的输出结果为 0。用来求积的变量 s 的初始值要为 1，这样才不会改变算式的运算结果。
循环对应的算式：s * 1 * 2 * 3 * … * 10，s 值为 1 时不会改变从 1 乘到 10 的结果。
另外需要注意的是，用来求积的变量最好是 long long 类型，因为累乘运算很容易超出 int 的取值范围。
修改完之后的代码如下：
#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
int m, n;
long long s = 1;
cin >> m >> n;
for (int i = m; i <= n; i++)
{
s *= i;
}
cout << s;
return 0;
}编译运行后，输入 1 和 10，输出的结果为 3628800。
15.2 实例讲解
例 1：累乘求积
输入两个正整数 m 和 n（1 ≤ m ≤ n ≤ 15），输出 m 和 n 之间（包含 m 和 n）所有整数的积。
【输入格式】输入一行，两个用空格隔开的整数 m 和 n（1 ≤ m ≤ n ≤ 15）。
【输出格式】输出一行，为 m 和 n 之间所有整数之积。
【输入样例】1 5
【输出样例】120
解析
- 求 m 和 n 之间所有整数的乘积，即 m * (m + 1) * (m + 2) * … * (n − 1) * n，从 m 开始，每次加 1，可循环 n − m + 1 次，从 m 乘到 n，即：
for(int i = m;i <= n;i++)- 用 s 来保存运算结果。由于可能会从 1 乘到 15，而这个值是大于 2³¹ − 1（即超出 int 的取值范围）的，所以要用 long long 数据类型声明变量 s，并且需要给其赋初始值 1，即：
long long s = 1;
……
s = s * i; // 可简写为 s *= i;参考代码
#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
long long s = 1;
int m, n;
cin >> m >> n;
for (int i = m; i <= n; i++)
{
s = s * i;
}
cout << s;
return 0;
}例 2：求阶乘
输入一个正整数 n（n ≤ 15），求 n!（n! 表示的是 n 的阶乘）。
【输入格式】输入一行，一个整数 n（1 ≤ n ≤ 15）。
【输出格式】输出一行，一个整数，为 n!。
【输入样例】4
【输出样例】24
什么是阶乘？
一个正整数的阶乘是所有小于及等于该数的正整数的积，并且 0 的阶乘为 1。
自然数 n 的阶乘可写作 n!（数学表示）。
例如：
- 0! = 1
- 1! = 1
- 4! = 1 × 2 × 3 × 4 = 24
- 5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120
- n! = 1 × 2 × 3 × … × (n − 1) × n
聪明的你一定学会了吧？现在你可以尝试去求 6 的阶乘、7 的阶乘分别是多少了！
解析
- 求 n 的阶乘，相当于 1 * 2 * 3 * … * n，从 1 乘到 n，每次乘一个数，所以一共循环 n 次，即：
for(int i = 1;i <= n;i++)- 循环体内用 s 来保存结果，s 依然被声明为 long long 类型，即：
s = s * i;参考代码
#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
long long s = 1;
int n;
cin >> n;
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
s = s * i;
}
cout << s;
return 0;
}例 3：求阶乘的和
现在蛙蛙决定挑战一下自己，希望自己既能求积还能求和，于是想到了这样一个问题：输入一个正整数 n，求 1! + 2! + 3! + … + n!。
【输入格式】输入一行，一个整数 n（1 ≤ n ≤ 15）。
【输出格式】输出一行，一个整数，表示求和的结果。
【输入样例】3
【输出样例】9
解析
- 求 i 的阶乘。从 i 等于 1 时开始，当 i 等于 1 时计算 1 的阶乘，当 i = 2 时计算 2 的阶乘……当 i 等于 n 时求 n 的阶乘，即：
for(int i = 1;i <= n;i++)
{
jc = jc * i; // jc 用来保存阶乘的结果
}jc 的初始值为 1。当 i 等于 1 时，jc 为 1，再乘上 i，也就是 1，得到 1 的阶乘的结果 1；当 i 等于 2 时，jc 当前的值为 1，再乘上 i，也就是 2，得到 2 的阶乘的结果 2；当 i 等于 3 时，jc 当前的值为 2，再乘上 i，也就是 3，得到 3 的阶乘的结果 6……
- 我们这里要求的是阶乘的和，求完阶乘后，还要将当前 i 的阶乘累加到变量 s 中，s 的初始值为 0，即：
for(int i = 1;i <= n;i++)
{
jc = jc * i; // 分别求了 1!、2!、3!……
s = s + jc; // 求完一个数的阶乘后，就将其加到 s 上，s 的初始值为 0
}参考代码
#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
long long s = 0, jc = 1;
int n;
cin >> n;
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
jc = jc * i;
s = s + jc;
}
cout << s;
return 0;
}例 4：求次方
输入两个正整数 m 和 n，求 m 的 n 次方的值。
【输入格式】输入一行，两个用空格隔开的整数 m 和 n（1 ≤ m ≤ n ≤ 15）。
【输出格式】输出一行，一个整数，表示次方的结果。
【输入样例】2 4
【输出样例】16
解析
m 的 n 次方相当于 n 个 m 相乘，只需要求 n 个 m 相乘的结果就能够得出 m 的 n 次方。用变量 cf 来保存相乘的结果，则 cf = cf * m，即：
for(int i = 1;i <= n;i++)
{
cf = cf * m;
}参考代码
#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
long long cf = 1;
int m,n;
cin >> m >> n;
for(int i = 1;i <= n;i++)
{
cf = cf * m;
}
cout << cf;
return 0;
}例 5：求次方的和
输入两个正整数 m 和 n，求 1 + m + m² + m³ + … + mⁿ。
【输入格式】输入一行，两个用空格隔开的整数 m 和 n（1 ≤ m ≤ n ≤ 15）。
【输出格式】输出一行，一个整数，表示求和的结果。
【输入样例】2 4
【输出样例】31
解析
这里用 s 来保存求和的结果，cf 保存当前 n 个 m 相乘的结果。将多个 cf 的和保存到 s 中，即为次方和，即：
for(int i = 1;i <= n;i++)
{
cf = cf * m;
s = s + cf;
}参考代码
#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
long long cf = 1, s = 1;
int m, n;
cin >> m >> n;
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
cf = cf * m;
s = s + cf;
}
cout << s;
return 0;
}